sexta-feira, outubro 19, 2007

Passatempo com prémio - O «problema do avarento»

Desafiam-se os leitores a dar, em "comentário", resposta a este velho problema.
Mas atenção às duas condições seguintes:
1.ª-Deverá ser dada, também, uma justificação matemática.
2.ª-As respostas só serão válidas depois de o site-meter do SORUMBÁTICO atingir o n.º 330.000.
O prémio será um livro, a escolher pelo vencedor numa lista com mais de 60 títulos.
-oOo-
A resposta que, além de estar certa, respeitou a condição exigida, foi dada no "comentário-17" por Renato B. Chama-se também a atenção de Luis Correia para o que se diz no "comentário-20".

20 comentários:

Tongzhi disse...

Este problema é um clássico da matemática. Não há manual do 11º ano que o não refira. Tem um conjunto alargado de variantes que lhe conferem maior ou menor complexidade.
Não vou dar a solução para não estragar o passatempo... mas também não tenho paciência para andar a ver as "entradas" no Sorumbático lololol
Acrescento apenas que pode ser abordado de duas maneira. Uma, a mais simples, por tentativa e erro. Dando valores a x e calculando o volume pode-se ir afinando o resultado. A outra maneira, "mais à séria", trata-se de maximizar a função volume!!!

Carlos Medina Ribeiro disse...

Sim, o problema é relativamente fácil (até porque foi feito para os leitores de um almanaque popular), mas é preciso saber um mínimo de matemática.

Mesmo assim, o cálculo fornece 2 soluções, e é curioso ver quem dá a justificação correspondente à escolha de uma delas em detrimento da outra.

NOTA: Se a solução demorar a aparecer, o prémio será aumentado.

Anónimo disse...

O 329.000 deve ser atingido amanhã, domingo.

Ao ritmo habitual de visitas nesse blogue,o n.º 330.000 deve ser por volta de terça ou quarta-feira.

Oscar disse...

Não conhecia este problema.
Se puder ser formulado como optimização:
A) sem restricões, ou
B) linear, ou
C) uni-variável (mono-variável),
é de fácil solução.
Reparando que m, cm, ou mm, levam a soluções semelhantes, e usando portanto x ou y como unidade, ou seja, usando a variavel razão entre x e y, eu apostaria numa solução do tipo C).

Luis Correia disse...

Como já aqui foi dito trata-se de maximizar o volume da caixa mas partindo do pressuposto, dado que esta não tem tampa, de que o dinheiro a colocar lá não possa exceder os limites da altura desta porque senão nem era necessário cortar nada, bastaria ir empilhando o dinheiro em cima da folha de papel enquanto a pilha de dinheiro se mantivesse estável sem correr o risco de desabar ou atingir o limite do espaço livre para cima.

Carlos Medina Ribeiro disse...

Luis Correia:

Sim, e supõe-se que não ficam intervalos entre as notas - como se, em vez de dinheiro, se quisesse meter um líquido num paralelepípedo cujo volume se quer maximizar.

Pedro disse...

a solução é x=3

com a função:
Vol=(30-(2x))*(14-(2x))*x

o máx deste função é 3, logo o volume máximo é 24*8*3=576

Carlos Medina Ribeiro disse...

Chama-se a atenção para o que se diz no enunciado:

As respostas só serão válidas depois de o site-meter do SORUMBÁTICO atingir o n.º 330.000.

Anónimo disse...

Assim é chato.
Se calhar, em casos destes, vai passar a ser preciso bloquear as respostas até se atigir a condição que as torna válidas.

Também eu sei a resposta (e com mais detalhes, pois apresento a "derivada da função volume" e determinação do repectivo "zero"), mas tenho tido o cuidado de respeitar o que se indica, e não responder antes do tempo.

Tongzhi disse...

Parece-me que as intervenções até agora são de pessoas com algum conhecimento de matemática. Falou-se em optimização, um ramo da matemática com pouca tradição no nosso ensino e até a maximização utilizando as derivadas...
O engraçado neste problema, considerado como um recurso educativo, é que ele pode ser explorado em diferentes graus de ensino. É por essa razão que é um problema...

Anónimo disse...

Meus caros,

A solução do problema que aqui se vê era, aqui há uns anos, aprendido no 6.º e 7.º anos do ensino secundário, e de tal forma era considerado corriqueiro que era apresentado num almanaque popular, juntamente com outros semelhantes.

Não é preciso dizer mais nada; cada um que tire as conclusões que quiser, nomeadamente acerca do estado do nosso ensino, onde há universitários que não sabem a expressão da área do círculo...

O nosso futuro, como povo, vai ser limpar o rabo a velhinhos europeus que venham para cá morar.

Luis Correia disse...

A solução do problema passa então por encontrar o valor de x, que já aqui foi indevidamente divulgado por um comentador, que maximiza a função volume no intervalo:
0 < x < 7
Eu sugeria aqui que estes passatempos se fizessem ou quando o contador de visitas estivesse próximo de algum número "redondo" ou dando algumas horas, consoante a dificuldade do problema, em que os comentários estão bloqueados
de forma a que não demore muito tempo até ser possível responder como é o caso deste que já foi proposto à mais de dois dias e ainda não foi atingida a condição para se poder responder.

Carlos Medina Ribeiro disse...

Luis Correia tem razão pois, infelizmente, é frequente haver quem não respeite as condições indicadas.

Vou passar a bloquear as respostas até determinado momento.

Anónimo disse...

Atenção que já se ultrapassou o n.º 329.000!

Pedro disse...

Sorry!!!
Foi realmente erro meu não ter lido essa nota do site-meter. Como apenas venho a este blog de passagem nem me apercebi dessa restrição.
Desculpem lá mais uma vez

Carlos Medina Ribeiro disse...

Neste momento, a lista de prémios disponíveis é a seguinte:

«Indiana Jones e o Círculo da Morte» (W. McCay)
«A Guerra dos Foguetões Machos» ( H. Pólvora)
«007 - De Novo Ordem para Matar» (Ian Fleming)
«Tarzan, o Terrível» (E.R.Burroughs)
«Os Cinco nos Rochedos do Demónio» (Enid Blyton)
«Os Sete e os Discos Voadores» (Enid Blyton)
«O Mistério do Falcão Azul» (C. Correia e M.N. Rocha)
«Uma Armadilha na Estalagem Sky Blue» (F.W. Dixon)
«O Inimigo Misterioso» (V. Appleton)
«Aventura no Oeste» (A. Sharp)
«A Volta ao Mundo em 80 dias» (J. Verne)
«Morangos com Açúcar - O Anel Egípcio» (C. Peixoto e M. Cunha)
«Morangos com Açúcar-Segredos da Ice Girl 1» (I. Gomes e V. Domingos)
«Não sou o Único - a biografia de Zé Pedro, dos Chutos e Pontapés» (H. Reis)

===========

Ficção Científica:

«A Porta da Montanha do Fogo» Colecção Argonauta (C.J.Cherryh);
«Uma Nova Esperança em Pern» (2 vol.) Colecção Argonauta (Anne McCaffrey);
«A História de Nerilka» (1 vol) (idem),
«A Dama de Couro» (Michel Grimaud)
«A Nebulosa de Andrómeda» (Iván Efrémov)
«Por Amor da Não-mãe» (A.D. Foster)
«Kryon» (Lee Carroll);

===========

Diversos

«Como Construir um Disco Voador» (T.B. Pawlicki)
«O Fabuloso Teatro do Gigante» (David Machado)
«Planalto» (Francisco José Pereira Alves);
«As Crianças e o Divórcio-O Diário de Ana» (M.S.Pinto Ribeiro)
«Os Cisnes de Leonardo» (Karen Essex)
«Herança Negra» (W. M. Gear e K. Gear)
«Ressurreição - O Evangelho Perdido» (T. Malarkey)
«O Lugar do Morto» (S. Booth)
«Trevas Sobre China Lake» (M. Gardiner)
«Subir na Vida» (Donald Trump e M. McIver)
«Gosto de Ti, Mas...» (E. Watchel)
«Beijos de Chocolate» (Alice Vaara),
«Torne-se Pequeno e Pense em Grande» (S. Godin)
«Gente Famosa Continua a dar Pontapés na Gramática» (Lauro Portugal)
«A Clínica da Amnésia» (J. Scudamore);
«A Hora H» (J. Carlzon);
«O Meu Pipi» (anónimo)
«A Magia de Ler» (J.A.Marina e M. de la Válgoma)
«Paris-Saigão» (É. Cortès e J.-B. Flichy)
«Stravaganza» (Mary Hoffman);
«Paz e Guerra» (Renato R. Martino);
«Aprender a Viver» (José António Marina);
«Alô, Sim...» (Mme. Claude)
«Amizades Virtuais, Paixões Reais - a sedução pela escrita» (Paulo Querido/Oferta CATI),
«CiberAPANHADOS» (Hugo Caramelo/Oferta CATI)
«Iniciação ao Aquário de Água Salgada» ( C.S.Barker)

Renato B. disse...

Volume do paralelepedo = ABC <=>
<=>(30-2x)*(14-2x)* x

O valor máximo de x nesta funcão é 3.
Logo, as dimensões do quadrado que respeitam as condições exigidas são que o quadrado tenha de lado 3cm, de modo que o volume seja o máximo possivel (576cm2).

site-meter: 330.041

Carlos Medina Ribeiro disse...

O prémio foi ganho por Renato B., a quem se pede que escreva para sorumbatico@iol.pt indicando, até às 9h de amanhã, qual o livro pretendido (de entre os indicados) e morada para envio.

--

NOTA: Já agora, e para que fique tudo completo, espero que alguém dê o resto da resposta:

1-Porque é que o máximo da função é 3?

2-Se a solução nos conduz a 2 respostas, porque é que a outra não é válida?

Luis Correia disse...

A resolução deste problema passa pela maximização da função volume:

x(14-2x)(30-2x)

que simplificada dá o polinómio do 3.º grau:

4x^3-88x^2+420x

Para determinarmos o máximo de uma função num determinado intervalo que neste caso é 0 < x < 7 recorremos à derivada da função e temos que encontrar os "zeros" dessa derivada que neste caso é uma equação do 2.º grau:

12x^2-176x+420 = 0

cujas 2 soluções são:

x =(176+RAIZQ(176^2-4*12*420))/24

x =(176-RAIZQ(176^2-4*12*420))/24

simplificando:

x = 3 ou x = 11 2/3

Ora a segunda solução não é válida porque está fora do intervalo de possíveis soluções e além disso resulta num volume negativo.

Carlos Medina Ribeiro disse...

Caro Luis Correia,

A sua resposta é de tal modo completa que, apesar de vir depois da outra, que já ganhou o prémio prometido, merece também um.

Escreva, pois, para sorumbatico@iol.pt, indicando o livro escolhido e morada para envio.